机械功的计算
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机械功的计算
一、力对物体所做的功
1．物体在力的作用下，沿力的方向移动了一段距离，我们就说该力对物体做了功。力对物体所做的功等于这个力和物体在这个力的方向上移动的距离的乘积。
2．功的计算公式：W=Fs ，其中W是功，单位是焦耳；F是作用在物体上的力，单位是牛顿；s是物体在力的方向上移动的距离，单位是米。
3．力对物体做功的两个因素：一是有力作用在物体上，二是物体在力的方向上移动了距离。
4．力对物体不做功几种情况
①由于惯性运动的物体没有力对它做功。例如在光滑的水平面上由于惯性运动的物体，虽然在水平面上移动了距离，但并没有水平方向的力作用于它，所以没有力对它做功。
②物体受到力的作用，但物体没有移动距离，力对物体不做功。例如汽车修理工用力推汽车，汽车没有动，则汽车修理工的推力对汽车不做功。
③物体受到力的作用，且移动了一段距离，但力的方向与物体移动的方向相互垂直，则力对物体不做功。例如手提水桶在水平面上匀速移动一段距离，手的提力对水桶并不做功。
例题1．水平桌面上的文具盒在水平方向的拉力作用下，沿拉力的方向移动一段距离。则下列判断正确的是（ ）
A．文具盒所受重力做了功 B．文具盒所受支持力做了功
C．文具盒所受拉力做了功 D．没有力对文具盒做功
解析：文具盒受到的重力和支持力的方向与文具盒移动的方向相互垂直，所以重力和支持力都不对文具盒做功。A、B两项错误。文具盒在拉力的方向上移动了距离，所以拉力对文具盒做功。C项正确，Ｄ项错误。
5．利用功的计算公式进行计算时，要注意的几点：
①力与物体移动的距离必须对应于同一物体。
②力于物体移动的距离必须对应于同一段时间。
③当一个力间接作用于物体上，计算力的功时，可以用力乘以力的作用点移动的距离，计算力对物体所做的功。
④公式W=Fs中的力为恒力，当计算变力对物体做的功时，应分别计算各恒力时间段的力所做的功，然后计算各段做功的和，即为变力对物体所做的功。
例题2．一个人先后用同样大小的力F将不同质量的物体分别在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜面上沿力的方向移动相同的距离s（如图1所示），该力在这三个过程中所做的功分别为W1、W2、W3 ，关于它们之间的大小关系说法正确的是（ ）
A．W1＜W2＜W3 B．W1＜W2=W3 C．W1=W2=W3 D．W1=W2＜W3
解析：本题求力Ｆ对物体所做的功，三种情况下物体在同样大小的力Ｆ作用下，移动了相同的距离s，由功的计算公式可得，三种情况下力Ｆ对物体所做的功都等于Fs，即W1=W2=W3=Fs。Ｃ项正确。
三种情况的不同是，光滑水平面上的物体，只有力Ｆ对物体做功；粗糙水平面上的物体，除力Ｆ对物体做功外，物体还要克服摩擦力做功；粗糙斜面上的物体，除力Ｆ对物体做功外，物体还要克服摩擦力和重力做功。
例题3．为了将放置在水平地面上、重G=100 N的重物提升到高处。小明同学设计了图2（甲）所示的滑轮组装置。当小明用图2（乙）所示随时间变化的竖直向下拉力F拉绳时，重物的速度v和上升的高度h随时间t变化的关系图像分别如图2（丙）和（丁）所示。不计摩擦，绳对滑轮的拉力方向均可看成在竖直方向。求：
（1）在1～2s内，拉力F做的功W。
（2）在2～3s内，滑轮组的机械效率η 。
解析：本题是变力做功的问题，应注意各时间段力与功的对应。
（1）由图2乙可知1～2s内，拉力F2=50N；由图2丁可知1～2s内，重物上升的高度h2=1.25m ；由图2甲可知，有3股绳子承担动滑轮，所以滑轮组绳子自由端移动的距离是重物上升高度的3倍。1～2s内，拉力做的功W=F2×3h2=50N×3×1.25m=187.5J 。
（2）由图乙可知2～3s内拉力F3=40N；由图2丁可知2～3s内，重物上升的高度h 3 =3.75m-1.25m=2.5m；2～3s内，拉力做的有用功
=Gh3 =100N×2.5m=250 J，总功
=F3×3h3=40N×3×2.5m=300J。在2～3s内，滑轮组的机械效率η=
×100%= 83.3%。
二、使用机械对物体做的功
1．功的原理：忽略机械自重和摩擦时，使用简单机械所做的功等于不使用机械而直接用手做的功。也就是说，使用任何机械都不省功。
例题4．如图3所示是一个两面光滑的斜面，∠β大于∠α ，同一个物体分别在AC和BC斜面上受拉力匀速运动到C点，所需拉力分别为FA、FB，所做功分别为WA、WB，则下述选项中正确的是（ ）
A． FA= FB , WA = WB B． FA＜FB ，WA = WB
C． FA＜FB , WA＜WB D． FA＞FB ，WA＞WB
解析：由功的原理可知，在理想情况下，用机械与不用机械而直接用手做的功相同。同一个物体分别在AC和BC斜面上升到同一高度，都是克服重力做功的过程，重力不变，上升高度不变，拉力所做的功应相等，故WA=WB；拉力FA所做功WA= FA×AC，拉力FB所做功WB= FB×BC，因为AC＞BC，所以FA＜FB，故B项正确。
2．有用功、额外功、总功
①有用功：使用机械时，对人们有用的功。
什么是对人们有用的功呢？这要看我们要达到什么样的目的。例如用桶从井中提水时，我们的目的是要取到水，则克服水的重力所做的功是有用功。
②额外功：对人们没有用但又不得不做的功。
什么是对人们没有用但又不得不做的功。这也要看我们要达到什么样的目的。例如用桶从井中提水时，我们只想提到水而不想浪费力气提水以外的东西。在提水的同时，一定要提桶，提桶是我们不需要的，但又不得不提，否则我们就得不到水，克服水桶的重力所做的功就是额外功。
③总功：有用功与额外功之和。
例题5．粗糙斜面高度为h，长为L，用沿斜面向上的力把重为G的物体由斜面底
端匀速拉到斜面顶端的过程中，拉力做的功为W，则下述选项中正确的是（ ）
A．拉力大小为Gh/L B．拉力大小为W/L
C．物体所受摩擦力大小为（W-Gh）/L D．物体所受摩擦力大小为（W-G）/h
解析：把物体由斜面底端匀速拉到顶端的过程中，克服物体重力所做的功是有用功，= Gh；拉力F既要克服重力做功，又要克服摩擦力做功，所以拉力F做的功W是总功。因W=FL所以F=W/L，故A项错误，B项正确。克服摩擦力f所做的额外功
=-=W-Gh，又因=f L ，所以f=（W―Gh）/L。 C项正确，D项错误。
例题6．某同学利用两个滑轮组装了一个滑轮组，将重为300N的物体从一楼匀速提升到三楼，所用的拉力为120N，则该滑轮组的机械效率为 。
解析：用两个滑轮组成的滑轮组，动滑轮可能有两股绳子承担，也可能有三股绳子承担。若动滑轮有两股绳子承担，拉滑轮组绳子自由端所用的力要大于物重的二分之一，即大于150N，而题中的拉力为120N，所以滑轮组的动滑轮不可能有两股绳子承担，一定是有三股绳子承担。设物体上升的高度为h，则滑轮组绳子自由端移动的距离为3h。拉力做的有用功=Gh，拉力做的总功=F×3h=3Fh。
机械效率η=×100%=
×100%=
×100%=83.3%。
例题7．如图4a所示重为16 N的物体A在拉力F的作用下，5s内匀速运动了0.5 m。拉力F做的功随时间变化的图像如图4b所示。己知动滑轮重0.5N，物体A在水平桌面上运动时受到的摩擦阻力f为物重G的0.25倍。求
（1）拉力F的功率；
（2）拉力F大小；
（3）克服绳重及摩擦所做的额外功占总功的比例。
解析：设物体重为G，物体运动时间为t=5s时，运动距离为S=0.5m，动滑轮重为
，则G=16N， =0.5N ，f = 0.25G=4N。
（1）5s内拉力做的功是总功，由功随时间变化的图像知，=2.5J 。拉力的功率P=
=
=0.5W 。
（2）由图可知，动滑轮有两股绳子承担，所以滑轮组绳子自由端移动的距离是物体移动距离的2倍。拉力F做的总功=F×2s=2Fs ，所以F=
=
=2.5N。
（3）本问中除了克服绳重及摩擦所做的额外功之外，还有克服动滑轮重力的额外功。不要错把从总功中去掉有用功后的额外功当成了克服绳重及摩擦所做的额额外功。
因物体A在水平面上匀速运动，所以A受到绳子对它水平向右的拉力FA大小等于A受到的摩擦力的大小，即FA=f=4N ，拉力F做的有用功= FA×S=4N×0.5m=2J，克服动滑轮重做的额外功
=×S=0.5N×0.5m=0.25J，克服绳重及摩擦所做的额外功
=―― = 2.5J―2J―0.25J =0.25J。克服绳重及摩擦所做的额外功占总功的比例为 
=
=
。
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